复合函数求导经典例题深度剖析

复合函数求导是高等数学中一个重要的知识点，掌握其求导方法对于解决各类函数的导数问题至关重要,下面通过几个经典例题来深入探讨复合函数求导的技巧与应用。

求(y = \sin(2x + 1))的导数

1. 设(u = 2x + 1)，则原函数(y = \sin(2x + 1))可以看作是由(y = \sin u)与(u = 2x + 1)复合而成。
2. 根据复合函数求导法则，先对(y = \sin u)u)求导，得到(y^\prime_{u} = \cos u)。
3. 再对(u = 2x + 1)x)求导，得到(u^\prime_{x} = 2)。
4. 最后根据复合函数求导公式(y^\prime = y^\prime{u} \cdot u^\prime{x})，将(y^\prime{u} = \cos u)与(u^\prime{x} = 2)代入可得：

(y^\prime = \cos(2x + 1) \cdot 2 = \ 2\cos(2x + 1))

求(y = e^{x^2 + 3x})的导数

1. 设(u = x^2 + 3x)，y = e^{x^2 + 3x})是由(y = e^u)与(u = x^2 + 3x)复合而成。
2. 对(y = e^u)u)求导，得(y^\prime_{u} = e^u)。
3. 对(u = x^2 + 3x)x)求导，得(u^\prime_{x} = 2x + 3)。
4. 依据复合函数求导公式(y^\prime = y^\prime{u} \cdot u^\prime{x}),可得：

(y^\prime = e^{x^2 + 3x} \cdot (2x + 3) = (2x + 3)e^{x^2 + 3x})

求(y = \ln(\sqrt{x^2 + 1}))的导数

1. 先将函数进行化简，(y = \ln(\sqrt{x^2 + 1}) = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1))。
2. 设(u = x^2 + 1)，则(y = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1))是由(y = \frac{1}{2}\ln u)与(u = x^2 + 1)复合而成。
3. 对(y = \frac{1}{2}\ln u)u)求导，得(y^\prime_{u} = \frac{1}{2u})。
4. 对(u = x^2 + 1)x)求导，得(u^\prime_{x} = 2x)。
5. 按照复合函数求导公式(y^\prime = y^\prime{u} \cdot u^\prime{x}),有：

(y^\prime = \frac{1}{2u} \cdot 2x = \frac{x}{x^2 + 1})

通过以上几个经典例题，我们详细地展示了复合函数求导的过程和方法，在实际解题中遇到复合函数求导问题时，关键是要正确地设出中间变量，然后按照复合函数求导法则逐步进行求导计算，确保每一步的准确性，这样才能顺利地求出函数的导数，希望同学们通过这些例题的学习，能够熟练掌握复合函数求导这一重要知识点。